內容摘要：利用《墨子》考察先秦的幾何學知識不僅對研究中國早期數學史而且對了解中國思想和文化初成期的面貌有著重要的意義。文章首先分析了《墨子》中有關文獻所蘊涵的幾何學觀念和知識，指出它們的范圍、性質和特點以及在墨家整個知識系統中的位置。然后利用這些結果和有關名家的文獻及上古時代的數學文獻等相參照，分析當時存在的幾何學知識及其基本性質和特征，并說明當時發展出相互關聯的兩類幾何知識——注重實際應用的算法式幾何知識和注重概念及其關系的理論性幾何知識。后一類知識為認識古人如何從經驗知識發展出抽象化、理論化的幾何學提供了樣本。先秦數學的多元化，與當時社會的激烈變革、思想解放、百家爭鳴的大環境密切相關，是先秦學術和思想繁榮的重要組成部分。

　　關鍵詞：《墨子》；先秦學術史；先秦幾何知識；中國數學史；名家

　　作者簡介：鄒大海，1965年生，湖南新化人，中國科學院自然科學史研究所研究員，主要從事中國數學史和中國早期科學思想史研究。

0? 引言

　　在先秦時期[1]，世界上多個地區文明的發展都出現了一個飛躍，中國在這一時期也出現了諸子百家，創造了各種新的思想和新的知識，奠定了中國思想和文化發展的基礎。數學是人類社會發展史中最能體現進步和發展趨勢的基本知識門類之一，理解數學的發展對于理解人類文明的進步與思想文化的發展，具有基本的意義。研究先秦數學的發展，對于理解思想文化初成時期的面貌具有重要價值。但由于有關先秦數學的直接材料流傳至今的很少，學術界曾長期對先秦數學史認識不夠。最近十余年來，這種情況正在發生改變，其中利用出土文獻、傳世的非數學文獻為《九章算術》的溯源具有決定性的意義。而在傳世的非數學類文獻中，《墨子》（主要是《墨經》）中有關數學特別是幾何學的信息尤其值得關注。涉及《墨子》中幾何思想的研究文獻頗為浩繁，但大都對科學知識的歷史發展及其特點缺乏清晰的認識，不僅校釋隨意，而且喜歡附會近代或西方古代的幾何學，真正做嚴密考證和通盤考察的并不多[2]。筆者曾對相關文獻的前賢解釋進行了分析和取舍，從全局的角度提出自己的看法，并用以證明先秦數學存在的理論傾向[5]，但對這些知識的性質和特征論述得還不夠系統和充分，仍有待深化。本文將在此基礎上，對《墨子》中的幾何知識做綜合性的分析，并根據這些信息討論先秦時期的幾何學知識。

1? 《墨子》中涉及幾何學的主要文獻簡釋

　　為便于分析和討論，下面列出《墨子》中涉及幾何學的主要原始文獻，并做簡單的解釋。《墨子》“經上”、“經下”、“經說上”、“經說下”統稱《墨經》，這部分文獻素稱難解，歧見甚多。筆者曾分析各種歧見的得失，在宏觀上考慮先秦時期論辯的學術背景，在微觀上通過從古人原有的概念出發復原古人的概念之間的聯系來理解古人的概念和思想，力圖減少跳躍性思維，避免套用近現代或西方科學的概念，防止主觀臆斷，在校勘上較為審慎，在解釋上力圖采用最貼近文本的方式。本文所引原文以孫詒讓《墨子間詁》[6]為底本，校釋（原文被刪改的文字外加圓括號，校正后或增補的文字外加方括號）則主要基于筆者的考證結果[5]，但少數地方仍加改進，使解釋進一步貼近原文本。《墨經》四篇中“經”和“經說”的文字以條目為基本單位有對應關系，故本文將不同篇中的對應文字以條目為單位置于一處（如“1.1? 空間概念‘宇’”即為第1條，以下類推）。

　　1.1? 空間概念“宇”

　　經上：“宇，彌異所也”。? 經說上：“宇，東西家南北”。（[6]，194、206頁）

　　經文說“宇”充滿了各個不同的處所。經說講“宇”包括了東西南北各個方位和說話者所在的地方（“家”）。這里用“宇”字總括整個空間的各個部分和方向。

　　1.2? 厚的概念

　　經上：“厚，有所大也”。?? 經說上：“厚，惟[無厚]無所大。”（[6]，191、207頁）

經說中“無厚”二字系從高亨意見補[7]。經文說“厚”（有厚）就是有一定的大小。經說從反面說“無厚”就沒有一定的大小。這是用“厚”來表示物體的空間量度。

　　1.3? 端的概念

　　經上：“端，體之無厚而最前者也。”??? 經說上：“端，是無同也。”（[6]，191、208頁）

　　經文的意思是：一個物體含有很多的構成部分（體），“端”是其中沒有量度而處于最邊緣的部分。經說文字不好解釋。前人有兩種處理：一種是把“同”校改為“間”，一種是在“無”字前添“不”。按前一種，經說的意思是“端”是不包含“間”（被夾在中間的空間或物體）的，因而也是最小不能再細分的東西。按后種處理，經說的意思是所有的“端”都是一樣的。

　　“端”有物體的頂端和事物的起始之義，墨家思索事物的本原問題，選用它作為其世界觀中一個基本的概念，表示萬物的最基本、最細小的構成單元。可見的萬物總可以細分成小的部分，而小東西又可細分為更小的東西。古人很容易設想萬物的最基本的構成單元是最小的，所以墨家在界定“端”時，著重描述其幾何性質：從幾何量度來說“端”沒有大小（“無厚”），從空間位置來說“端”處于一個物體的起始處或最頂端、最外緣。從人的感知來說，物體的起始端和邊緣比較容易顯示這種微細的單元，所以在界定“端”時，從“最前者”入手。在描述概念的界定時，《墨經》還沒有發展到從外延和內涵兩方面都做到恰如其份的程度，在“非半弗著斤則不動”一條中，《墨經》認為一半一半地砍一個長條形物，最后會得到一個“端”，并且隨著砍截方式的不同，得到的“端”的位置也不同，不僅可以在原物的兩頭，也可以在中間（[5]，307-315頁）。“端”還被作為光線的投射點（光線既是物質的，也具有幾何性質），這與其幾何涵義仍存在一致性。

　　1.4? 直的概念

　　經上：“直，參也”。（[6]，191頁）

　　這一條說明一個東西是否直的，要在它上面任取三個對應位置的點，看它們是否在一條視線上。這是基于視線這種經驗和直覺建立起來的一種理性提升。這里經過了一定的幾何抽象，并具有一定的默認前提：如一個長方形的物體，取三點時不能把最后的點取在左邊、中間的點取在右邊、最前的點取在中間，只能是都取左邊或都取右邊或都取中間。也有可能經文本來就是針對一條線說的。

　　1.5? 平的概念

　　經上：“平，同高也。”（[6]，190頁）

　　這一條講：一個東西是平的，它的各處都有相同的高度。這經過一定的幾何抽象，不考慮該對象的厚薄，并假設有一個平的東西（可能是地平面）作為它的參照。

　　1.6? 同長的概念

　　經上：“同長，以缶相盡也。”? 經說上：“同，捷與狂之同長也。”（[6]，190、207頁）

　　經文說明：說兩個東西同長，是當把它們疊合在一起時，它們正好（“缶”，即“正”）相盡，即兩頭都不長不短，正好重疊。經說進一步舉例說明：門框（“狂”，通“框”）和門內的閂（“捷”）正好有相同的長度。

　　1.7? 中的概念

　　經上：“中，同長也。”?? 經說上：“心中，自是往相若也。”（[6]，190、207頁）

經說的“心”字可能是衍文。經文的意思是，處于一個形體的中央的中與其（某些）邊界點的各連線長度相同。經說是說：從中到邊界點的連線相等。經說和經的基本意思一樣，但更體現操作性。

　　1.8? 圓的概念

　　經上：“圜，一中同長也。”? 經說上：“圜，規寫（攴）[交]也。”（[6]，191、208頁）

　　經文定義圓：有一個中心，它到圓的邊緣每一處都具有相同的長度。經說進一步從操作上說明，用規畫圓時要畫一個整圈，最后要和開始處相交。本條給了圓一個完整的定義，除文字有簡縮外，與今天的幾何學并無二致。

　　1.9? 方的概念

　　經上：“方，柱隅四讙也。”?? 經說上：“方，矩見（攴）[交]也。”（[6]，191、208頁）

　　“讙”可能是“權”（權）之誤，訓為等或正。據此，經文的意思是：方，猶如一個方形的柱子的形狀，它的四個角都相等，或四個角都是直角。另外一種解釋是“讙”訓為“合”，經文的意思是，方猶如方形柱子形狀，它的四個角都能重疊。經說的意思是：用矩圍成方形時，矩的相應邊要相交。

　　圓和方是兩種典型的基本形狀，規矩是兩種基本的作圖工具，先秦時期人們對此非常熟悉，戰國諸子常借用它們來論述各種觀點。《墨子》中“法儀”、“天志上”、“天志中”和“天志下”等篇都有提及。如《天志中》：“是故子墨子之有天之，辟（人）[之]無以異乎輪人之有規，匠人之有矩也。今夫輪人操其規，將以量度天下之圜與不圜也。曰：中吾規者謂之圜，不中吾規者謂之不圜。是故圜與不圜，皆可得而知也。此其故何？則圜法明也。匠人亦操其矩，將以量度天下之方與不方也。曰：中吾矩者謂之方，不中吾矩者謂之不方。是以方與不方，皆可得而知之。此其故何？則方法明也”（[6]，128—129頁）。這里提到用規、矩來分別判定圓與不圓、方與不方。而之所以能夠做這樣的判定，則是由于圓的標準和本質（“圜法”）、方的標準和本質（“方法”）弄清楚了。第8和第9條正是墨家對圓和方的標準的本質揭示。下面這一條，則是用方及其本質與標準為例來說明同類事物的共同本質（“法”）。

　　1.10? 方形物的共性

　　經下：“一法者之相與也盡[類]，若方之相（合）[以]也，說在方。”? 經說下：“一，方盡類，俱有法而異，或木或石，不害其方之相（合）[以]也。盡類猶方也，物俱然。”（[6]，200、230頁）

　　經文中“盡”字后從孫補“類”字。經文和經說中“合”字系孫校，原文分別作“召”、“臺”，當校正為“以”，讀為“似”[3]。經文的意思是：合乎同一個標準（“法”）的事物彼此有相互關系，這個標準為這類中的所有事物所遵循，有如各種方形都相似，因為它們具有方的性質。經說的意思是：方的性質為整個方類中的各個方形所擁有，它們都符合方的標準而各個方形又有所不同，例如有的為木頭之方，有的為石頭之方，但這不影響這些方的相似性。一個類的標準能為該類中所有事物所遵循，如同方的標準能為方類中的所有事物所遵循一樣，同類中的所有事物都具有其共同屬性。

　　1.11? 曲直的轉化

　　經上：“儇，秪”。（[6]，194頁）

　　這一條意義難以弄清。“儇”、“”、“秪”可能分別通“環”（環）、“俱”、“抵”。經文意思可能是：環在地上滾動的時候，環上每一點在靠近地面的位置時都是和地面相抵壓、相接觸的。抽象地看，就是圓在直線上滾動時，圓上的每一點都與直線上的某一點相重合，這樣，當圓滾動一周時，圓和一段直線上的點就建立了一一對應的關系。因此，圓和直線就可以在一定意義上互相轉化。

　　1.12? 有間的概念

　　經上：“有間，中也。”??? 經說上：“有間，謂夾之者也”。（[6]，192、208頁）

　　經文的意思是：說一個東西有間，是指它的中間位置而言。經說說明“有間”的主體：有間是指夾著一個“間”的東西有間。

　　1.13? 間的概念

　　經上：“間，不及旁也。”??? 經說上：“間，謂夾者也。尺前于區穴而后于端，不夾于端與區內。及，及非齊之及也。”（[6]，192、208頁）

　　經文是說：間，是不和夾著它的東西的邊緣相接觸的。經說的意思是：間是被夾在中間的事物。線（“尺”）在空間形式中的地位是在面（“區”或“區穴”）之前而在點（“端”）之后（因為由點構成線，由線構成面），但（由于這不是從空間位置上講的，所以）線并不一定夾在點和面之間。“及，及非齊及之及也”是解釋經文的“及”不是并排相及的及的意思。這句話可能是后世的注釋文字，后來闌入了正文。

　　1.14? 纑的概念

　　經上：“纑，間虛也。”??? 經說上：“纑，虛也者，兩木之間謂其無木者也。（[6]，192、208頁）

　　“纑”字本是麻縷，這里用來表示空虛的地方。經文的意思是：纑是中間的空虛之處（或空虛的“間”）。經說解釋經文中的“虛”：猶兩棵樹之間沒有樹木的地方。

　　周圍（或兩邊）夾著中間（“間”），這中間可以是一個具體的事物，也可以是什么都沒有的虛空區域（“虛”）。“纑”就是屬于后面這種情況。

　　1.15? 攖的概念

　　經上：“攖，相得也。”??? 經說上：“攖，攖，尺與尺俱，不盡。端與端，俱盡。尺與端，或盡或不盡。堅白之攖相盡。體攖不相盡。”（[6]，192、209頁）

　　經文說明：攖是一種讓兩個東西（當然包括幾何形體）相合的操作。經說舉例解釋：兩條不同長度的線（“尺”）放一起相攖時，不能正好互相包涵；兩個點（“端”）放一起相攖時，每一點都能被對方涵盡。一條線（“尺”）和一個點相攖時，點被線涵盡而線不被點涵盡。一塊既堅又白的石頭內的堅、白相攖時，堅和白相互被涵盡。兩個事物只有部分重合（“體攖”）則一個不涵盡另一個。由本條及上面第13條的經說，可以推測《墨經》中作為線的尺是沒有寬度的。

　　1.16? 仳的概念

　　經上：“（似）[仳]，有以相攖，有不相攖也。”?? 經說上：“仳，兩有端而后可。” （[6]，192、209頁）

　　經文的意思是：仳（比）的時候要讓兩條線盡量重合，以比較其大小、長短，這時它們可能有相重合的地方，也有不相重合的地方。經說則說明，仳的對象線必須是有端點的。這種通過疊置來比較兩個形體的方法，對于線以外的其他圖形也是有用的。

　　1.17? 次的概念

　　經上：“次，無間而不相攖也。”??? 經說上：“次，無厚而后可。”（[6]，192、209頁）

　　經文提出一個特殊的排列方式“次”：相鄰兩個被排列的對象之間沒有間隙而又沒有相重合的部分。《道藏》本中“后”作“厚”，楊俊光認為經說說明“無厚”（圖形）和“有厚”（物體）皆可以是“無間而不相攖”之依次排列的對象[9]。他把“無厚”、“有厚”分別理解為圖形和物體是不對的，因圖形也可以是有厚的（線有長度，面有面積，立體有體積）。如果按《道藏》本，經說的意思是：不論是無厚還是有厚的東西，它們都可以沒有間隙而又不相重合地進行排列。畢沅本作“後”。按這種文字，則經說的意思是：次的對象只能是沒有大小的東西，如點（“端”）或沒有寬度的線或沒有厚度的面。兩種可能性都是存在的。但本條精妙處在于它提出了一種觀念：可以把“無厚”的東西進行這種既無間隙又不互相重疊的排列。這種思想與西方數學中的不可分量可積思想是一致的[10]。

　　1.18? 有限與無限

　　經：“窮，或有前不容尺也。”??? 經說：“窮，或不容尺，有窮；莫不容尺，無窮也。”（[6]，194、206頁）

　　本條以錢寶琮先生的解釋（[2]，19頁）最為近真。它是講一維上的有限與無限。經文的意思是：用尺來度量從一點向某個方向延伸的直的線（實際是射線或線段），如果量到某個地方，前面不能容下一尺，那么它是有窮的。經說的意思是：只要向前量到某個地方時前面不能容下一尺，則它是有窮的；如果繼續不斷地量過去，前面總是能容下一尺，那末，它便是無窮的。有了這個針對一維上的有限和無限的命題，就可以判斷二維和三維上的有限與無限。

　　1.19? 廣脩相盈的思想

　　經下：“不可偏去而二，說在見與[不見]俱、一與二、廣與脩。”??? 經說下：“[不]，見不見[不]離，一二（不）相盈，廣脩、堅白”。（[6]，196、216頁）

　　本條主要按照高亨的校勘意見（[7]，114頁）。經文的意思是：（對于那個同時含有兩種表象或事物的東西）不能從它里面去掉兩種表象（或事物）中的任何一個，這個說法基于這樣一些情況：看得到的和看不到的都滲透在一起，一（物）中含有兩種表象（或事物），一塊面積含有廣和脩（互相垂直的兩組線段）兩種互相滲透的單元。經說的意思是，看得到的和看不到的分不開，一物體和它的兩種表象（或單元）互相充滿，一塊面積的廣和脩、一塊（堅硬的白色石頭）的堅和白兩種要素都相互包含。

　　1.20? 太陽方位

　　經上：“日中，南也。”（[6]，191頁）

　　“”同“正”。這條說：太陽在天空軌跡的正中央的時候，它就處在正南方。這條反映方位在幾何學上的體現。

　　1.21? 球的性質

　　經下：“而不可擔，說在摶。”? 經說下：“正，丸無所處而不中縣，摶也。”（[6]，199、229頁）

　　“擔”通“憺”，安定、穩定之義。“摶”是圓形之義。“丸”即球。“縣”是工匠用來確定豎直方位的帶繩懸錘。本條講球的性質，經文是說球總是正的，但不安穩，因為它是圓的。經說是說：球沒有哪一處不符合懸錘（線），因為它是圓的[4]。

　　《墨經》所說球的正，當然是相對于偏而言，這是從幾何意義上講的，但具體如何來衡量怎樣為正、怎樣為偏，經文沒有直接說，而只是用它的形狀是圓的來解釋為什么它雖然是正的，但不穩定。經說講球（從各個角度看都）是圓的，因而它全部所處都是符合懸錘（線）的，這可以說是解釋了球的正是什么意思。參照前面對圓的界定，可以推測，全部所處都符合懸錘線的意思可能是說無論把球怎樣放在平面上，用球的哪一處作支撐點，它的中心和支撐點都在一條鉛垂線上。這里墨家考慮球的力學性質，而這又是通過考慮球所具有的前面已經闡釋了的圓之本質來認定的，但墨家并沒有明確地表達出來。葛瑞漢推測說盡管作者有幾何論證的思想，但大概還沒有發展出歐幾里得式的真正的證明（[4]，435頁）。這是沒有問題的，因為墨家不光在這里沒有把兩處知識的邏輯關系展現出來，整個《墨子》也很少用按部就班、非常清晰的邏輯關系來證明命題。

　　1.22? 出入相補的思想

　　一個由多個較小的塊組成的圖形，如果其中的若干塊移動到另外的位置再組合成新的圖形（“出入相補”），那么移動前后圖形的面積或體積保持不變。這是古人經常用于解決幾何問題的簡單原理，數學史界稱為出入相補原理。墨子已對此有較深的理解。

　　《墨子·非命上》：“子墨子曰：‘古者湯封于亳，絕長繼短，方地百里，與其百姓兼相愛，交相利，移則分，……昔者文王封于歧周，絕長繼短，方地百里，與其百姓兼相愛，交相利，[移]則[分]，是以近者安其政，遠者歸其德。”（[6]，165—166頁）

　　這段文字的意思是：墨子說：古時候商湯受封于亳這個地方，如果把這塊土地截去長的地方補到短的地方，得到邊長一百里的正方形。商湯在這塊只有百里見方大小的土地上與他的百姓互相敬愛，互利互惠，有多余的東西就分給大家（“移”讀為“侈”，過多。）……。從前文王受封于歧周，如果把這塊地截去長的地方補到短的地方，得到一個邊長一百里的正方形。文王就在這塊只有百里見方大小的土地上與他的百姓互相敬愛，互利互惠，有多余的東西就分給大家，所以近處的人順從他的施政，而遠處的人則歸順他的德行。

　　墨子考慮商湯的封地亳和文王的封地歧周時，把形狀不規整的國土通過“絕長繼短”，化為正方形，然后看正方形的邊長是多少，來考量它們的大小。這里的前提是“絕長繼短”的前后保持面積相同。這就是后來劉徽在注《九章》時大量用到的出入相補。

2? 《墨子》中幾何知識的內容、思想和特點

　　在中國古代有關科學的文獻中，注重對概念進行界定和對所考察的對象之間的邏輯聯系進行闡釋的不多。《墨子》（主要是《墨經》）算是少有的若干例外之一。不過，上述所舉反映幾何知識和思想的文獻，在《墨子》的相關篇章中的編排，雖然有部分是連在一起的，但總的說來并沒有專門放在一起討論，而是分布在不同的地方，這些幾何知識和思想不管是從文獻的組織還是從思想的關聯上看，都不是獨立和專門的幾何知識。 盡管這些幾何知識和思想是墨家在一個更大的知識系統中展開討論時表現出來的，但從中可以看出墨家注意描述幾何對象的本質屬性和邏輯關聯，反映了先秦時期幾何知識的理論傾向。下面我們以上述對原始材料的解釋為基礎，對幾個主要問題做一較為系統的分析。

　　2.1 《墨子》中幾何知識的范圍

　　上面所列，說明《墨子》中含有豐富的幾何知識和思想。首先它界定或說明了“宇”（空間）、“厚”（空間上的量度，大小）、“端”（點）、“直”、“平”、“同長”、“中”（形象中心）、“圓”、“方”、“間”（被夾在中間的空處或東西）、“有間”（夾有“間”這種情況，或必要時可以名詞化，表示夾有“間”的東西）、“纑”（被夾住的空處）、“攖”（重合）、“仳”（兩個形體通過疊合進行比較）、“次”（相鄰對象既不接觸又無間隙的排列）、“窮”等概念。還有一些用到而未專門說明的概念和工具，如“尺”[5]、“無厚”、“無間”、規、矩、準、繩等，還有一些命題，如有窮、無窮的判定，日中與方位的關系。這里涉及幾何知識的范圍比較寬泛，包括以下一些方面：（1）整個空間（宇）；（2）幾何性質（直、平、同長、正、摶、中縣）；（3）幾何量度（厚、無厚、長度單位尺、窮或有窮、無窮）；（4）幾何構件（端、尺、廣、脩、區或區穴）；（5）幾何圖形（圓、方、丸，其他如《墨子》城守各篇中還有一些幾何形體）；（6）幾何位置關系（表示中間位置的中、間、有間、纑、次、日中、正南）；（7）幾何操作（攖、仳、秪、絕長繼短）；（8）幾何工具（規、矩、準、繩、縣、表示度量工具的尺）等等。此外還表現了一些看法，如一塊面積可以看作由一系列平行的廣組成，也可以看作由一系列平行的脩構成。

　　上述分類不是絕對的，例如“次”、“窮”條也可以列入幾何操作，“無厚”、“有窮”、“無窮”可以單列一類——無限，等等。

　　這些幾何知識雖然涉及了較寬泛的范圍，但遠未完整。事實上，在反映上古時代數學的《九章算術》、《周髀算經》、湖北江陵張家山西漢初年墓中出土的《算數書》和湖南大學岳麓書院近年收購的秦簡《數》書中的絕大部分幾何概念和計算方法都沒有出現在《墨子》中。例如《九章算術》、《算數書》、《數》中涉及了圭田（三角形）、方田（長方形）、箕田（等腰梯形）、邪田（直角梯形）、圓田或周田（圓形）、弧田（弓形）、環田（圓環或兩半徑所夾圓環之一部分）、宛田（中間隆起的曲面，有人認為是球冠形）等平面圖形及其面積計算方法，方堢壔（以正方形為底的四棱柱）、塹堵（底為直角三角形的三棱柱）、陽馬（分解塹堵得到的一棱垂直于正方形底的四棱錐）、鱉臑（分解塹堵得到的每一面都是直角三角形的四面體）、方錐（正四棱錐）、圓堢壔（圓柱）、圓亭（圓臺）、芻童（一種棱臺）、芻甍（一種楔形體）、羨除（一種楔形體）、圓錐等立體圖形及其體積計算方法，都未出現在《墨子》中；算書中立圓（球體）在《墨經》中作丸（與公元3世紀劉徽《九章算術注》的說法相同），但《墨子》沒有計算其面積體積的方法，城（或垣、溝、塹、渠，都是底為梯形的棱柱）、方亭（正四棱臺）在《墨子》中雖然提到實物，但不是從幾何形狀上說的，沒有具體的文字明確涉及其幾何指標，更無計算其體積的方法。從社會需要來說，這些形體的面積和體積的計算方法，以及《九章算術》和《周髀算經》中一部分測算事物遠近和大小的計算方法大都出現于先秦時期（[5]，132—161頁；[12]；[13]），這些方法和相應的幾何概念大多屬于當時較基本的幾何知識，可它們在《墨子》中鮮有涉及。當然，這并不意味著墨家沒有相關的知識，他們在其他場合還是有可能會用到這些知識的一部分的。又如點、線、面是最基本的幾何概念，《墨子》只專門對“端”（點）做了界定，雖有與線、面分別對應的“尺”、“區（穴）”，但不僅對它們沒有專門界定，其涵義或性質也難以根據其在文本中的使用情況得到較為明確的了解，這是很不利于認清幾何圖形的性質的。《墨子》的撰寫是為墨家宣傳其在政治、倫理、軍事、經濟和社會生產、生活等方面的主張服務的，即使其中涉及邏輯和抽象概念較多的《墨經》，包含了較多墨家關于世界萬物的基本認識，其中有些本身與這些主張并無明顯的直接關系，但作為培養徒屬的基礎材料，仍從屬于這一目標。因此書中雖有各種各樣的知識，并有把相近的知識放在一起的意圖，但編作者對“相近的知識”的劃分并不以后世觀念為依據，甚至當時還沒有意識到刻意分科組織為成套基本知識的必要性。所以，《墨子》還沒有達到讓哪個方面的專門知識形成一個有機系統的程度，也沒有形成成套的幾何概念和完整的幾何知識，是不足為怪的。

　　2.2 《墨子》的幾何知識是其整個知識系統中并非獨立的一部分

　　在戰國時代百家爭鳴與思想解放的大背景下，墨家在社會共有知識和經驗基礎上通過思辨努力理解世界萬物，建立其對世界的基本認識。為此，他們需要利用一些基本的概念和思想，并深入地找出其本質特征和基本聯系。由于空間形式（萬物的形狀、在空間上的聯系和性質等）是任何人感知世界的基礎和認識萬物性質的基本方面，墨家就不可避免地要深入思考空間形式方面的問題，在當時共有幾何知識和觀念的基礎上，參考當時各界人士特別是其他諸子和數學家一些對事物幾何屬性的刻畫，形成一些幾何學方面的認識，用以建立其世界觀。因此，上節所舉材料雖然具有幾何方面的涵義，但很多并不限于幾何涵義，而是其整個世界觀中的一部分。如宇作為現實的整個空間，抽象的幾何形體和現實的物體都可以置于其中；端除幾何學上的涵義外，也是墨家世界觀中構成物質的基本元素；平很可能是以地平面為參照；攖、次和仳的對象也都可以是實體的；規、矩、準、繩、縣、尺本身就是實物，中、間（被夾在中間的東西）、有間、纑（間之虛者，即被夾著的虛空）等雖然是針對幾何位置關系，但仍與現實事物聯系緊密，也可以指實體的對象之間的位置關系；方用方柱的四個角來界定，方和圓都分別用相應的工具矩和規來說明，都與現實物體直接關聯；用“容尺”、“不容尺”這樣的操作語言來界定有窮和無窮，都以現實事物為基礎；說到丸（球）（因為是圓的，所以）無論怎樣放都符合懸錘線時，是從實物操作的視角涉及的，等等。以上這些雖可以從幾何觀念上面來理解，但古人并沒有刻意地把幾何意義從這些問題的現實的、具體的涵義或更籠統的哲學涵義中分離出來進行討論。因此，這些幾何知識的應用是在一個范圍更大的知識系統中進行的，它們還與現實的事物或籠統的哲學涵義有相當緊密的聯系。可見，墨家的這些幾何知識和觀念雖具有抽象的幾何內涵，但并沒有作為一種獨立的專門知識來看待。當然，這并不意味著這些幾何知識不具有一定的內在聯系（詳下）。

　　2.3 《墨子》中的幾何知識是當時墨家的基礎知識

　　《墨子》中幾何知識涉及了幾何方面一些比較基本的內容和涵義：（一）這些內容只是基礎知識，大都并非高級或復雜的內容。如規、矩、準、繩、尺是當時大家都熟習的工具，圓、方、平、直、同長、丸是大家常用且有明確理解的概念，宇、厚、無厚、廣、脩、（表示中間位置的）中、有間、間、有窮、無窮等也是當時人們常用的概念。其他如端、（表示線的）尺、區（或區穴）、攖、仳等概念，雖然在其他文獻中出現得不多，但也是當時人們觀念中已具備的想法（也許還叫別的名稱或沒有專稱）。這些內容算不上復雜，在當時的知識共同體中大都有所涉及。雖然也有些知識可能為墨家所獨有或只局限于范圍較小的學術圈，如次、有窮和無窮的界定等確是比較高級和深刻的，但這些內容仍以當時大家熟知的知識和經驗為直接的背景。由于當時數學中用于定量計算的幾何概念特別是計算方法在《墨子》中難得一見，而《墨子》對書中已有幾何知識的概念闡釋得不全面，也較少清晰地構建它們之間明確的、特別是復雜的邏輯聯系，更沒有有意識地用來系統地解釋很多的事物之理，如果再考慮到墨家注重實踐和辯論，《墨經》只是訓練墨徒的基本材料，墨家弟子在接受教育后有一部分會有所精進，那么從泛泛的理解來說，說這些知識是當時墨家的基礎知識是可以的。（二）墨家使用的這些概念和思想主要是一些相對于一般知識而言很基本很本質的東西。這些知識大多是人們在考慮幾何問題時經常要涉及的，但理解得不一定深，想得不一定清楚，或未能較多地從具體事物中抽象出具有普通意義的屬性來。墨家則不僅繼承和深化了已有的對事物幾何屬性的本質描述，而且對一些只停留在經驗層面的幾何知識進行了理性提升。他們用較明確的語言描述具體事物的一些較為抽象的本質屬性，并部分地顯示了較為抽象的概念之間的聯系，在理論抽象方面超越了當時一般士人的理解，這有利于理論化的思考（參考下文）。

　　2.4 《墨子》中幾何知識中的理論性

　　上面說到戰國時代百家爭鳴的學術背景，促進了墨家對世界萬物基本問題的思考。由于空間形式是萬物存在和運動的基本形式，人們要深入地了解萬物的本質，就必須努力了解萬物在空間形式上的共性和特征，因此，墨家對世界萬物的思考必然會促使他們在刻畫有關幾何概念的本質屬性和幾何對象的本質聯系方面下一些功夫。所以在墨家的整個知識系統中，其幾何知識含有抽象化和理想化的成份[6]，具有一定的深度和較高的理論水平。

　　（一）墨家注重形式化的表述方式。《墨經》的“經上”篇和對應的“經說上”篇，以一系列概念為關鍵詞分條目展開討論。“經上”把需要說明的概念置于句首，大都采用“X，Y也”的格式進行（只有很少的幾條無“也”字），有的是對概念的界定或說明，有的形成了一個判斷和命題（也對概念做了說明）[7]。“經下”篇和對應的“經說下”篇提出了一系列的看法和命題，對一些命題大都采用先提出判斷、再給出條件（個別先給出要討論的對象，再與后面的文字連成一個整體作為一個認識）的 “X，Y，說在Z”的格式（只有很少條目例外，但也可能是傳抄錯誤造成的）。這種形式化的表達方式有助于更明確、更規范地表達知識，建立抽象概念之間的聯系。當然，明確的理論知識的形成還受對所考察對象的認識水平、形成知識的具體作法等的影響，而且在對不同方面的內容形成理論知識時，其工作難度、形成的知識的形態和所達到的水平也會由于具體情形的不同而存在差異。但形式化和規范化的表達方式，無疑有助于使知識更明確，更具一般性。

　　（二）墨家對幾何涵義的刻畫注重從抽象性和一般性方面揭示其本質。如對宇的界定很具有一般性，“端”作為墨家世界觀中的萬物的基本構成元素，墨家著重從度量和位置上對它進行界定；攖、次、仳這些操作也主要從抽象幾何形式而不是實物的角度來考慮，中、有間、間、纑雖可以指具體的物體的位置關系，但這種位置關系則完全是從幾何學的位置關系上講的；有窮和無窮雖以具體操作的方法來界定，但這種操作顯然不限于現實的情況，而帶有理想的、形式化的性質。方雖用方柱來說明，但落腳點顯然不在方柱而在于四個角重合（或相等），具有抽象的性質；秪（環和地面相接觸）也是從抽象的理想角度來說的，幾何形式的涵義很濃厚；“日中，正南也”中日的大小已被忽視，而只考慮位置和方向；第21條利用丸的幾何性質來解釋其力學上的不穩定性。至于第22條通過“絕長繼短”把國土化為方形，雖不具備形式化的特征，但這在現實中完全不可能，只能是理想化的抽象的幾何操作。墨家對同長、中、方、圓、直、平、有窮、無窮等的描述，雖有現實的背景（特別是前5個更是如此），但相當好地刻畫了其抽象化的本質屬性，具有普遍的意義，除對平的界定外，在今天看來仍不失為嚴謹。墨家懂得出入相補原理。攖、仳是要通過疊合圖形對它們進行比較，為出入相補原理提供了基本的操作方式，第22條中墨子把不規則的國土通過分劃后重新組合成方形，體現了出入相補原理的應用。由于對國土不可能真正地進行分割再移補，所以這種出入相補是假想或在圖上進行的[14]，反映了墨家的抽象思想。第18條中墨家建立了一個有限的標準量與有限量和無限量之間的聯系，用于對有窮和無窮的判定，與現代數學中仍在使用的阿基米德公理有異曲同工之妙[15]，既深刻又簡明。

　　（三）《墨子》中一些與幾何相關的概念之間是存在一定聯系的。《墨經》同一條的經文和經說一般是從不同的角度來說明同一概念的，有時還會涉及相關聯的不同概念，它們的聯系建立在同一概念框架之上，如第2條的“厚”和“無厚”建立在是否有“所大”的基礎之上，第18條的“無窮”和“有窮”則建立在是否前面一直能“容尺”的基礎之上。《墨經》的不同條目之間，或它們與《墨子》其他相關內容之間，則更能顯示這種聯系。如第3條“端”的概念建立在“無厚”的基礎上，而在第2條中“厚”又建立在“有所大”的基礎上；第6條定義了“同長”，而第7條的“中”建立在“同長”的基礎之上，第8條的“圜”又建立在“同長”和“中”的基礎上，而“中”和“圜”的界定又為解釋丸的不穩定性服務，并為《大取》篇“小圜之圜與大圜之圜同”（[6]，246頁）之強調大小圓之間具有共同性提供了基礎。第12、13條的“有間”和“間”有相互說明的關系，第14條的“纑”又是建立在第13條“間”的基礎之上，且在原文中第12—14條被合適地連續編排著；第15條界定了“攖”，并用第3條的“端”為例來說明，第16條又用“攖”、第3條的“端”來解釋“仳”，第17條用“攖”來解釋“次”，這3條在原文中也被合適地連續編排著。第9條用方形柱子的四個角為例來界定了方，并以工具矩加以說明，而第10條又用不同的方具有共性來說明“一法者之相與也盡類”。第18條使對有窮和無窮的判斷建立在一個標準尺度的基礎之上。另外，墨家的端是無厚的，他們的線（尺）概念可能也是無厚的（因據第15條，端和尺進行重疊操作時，“或盡或不盡”），第17條的“次”說明無厚的東西可以無間隙而又不重合地排列在一起，因此墨家很可能認為面可以由一系列平行的線排列而成（同樣線可以由一系列的點排列而成，立體可以由一系列的面排列而成），并且這種排列是以次（相鄰兩者之間緊挨著而又不重合）的方式進行的。基于這種觀念，一塊面既可以視為由一系列并行的廣所構成，又可以視為由一系列并行的脩構成，這樣廣和脩就互相包涵和滲透了（“廣脩、堅白”相盈，見第19條）。等等。總之，墨家的這些概念和思想超越了具體實物和經驗的層次，并形成了關聯性，在理論化方面超越了一般的水平。

　　但是，我們也不要過高地看待墨家幾何學知識的系統性。因為:（一）上面說到《墨子》中的基本的幾何知識是不完整的，有不少很基本的幾何知識和概念并沒有包括在內。《墨子》中的幾何知識偏重于定性而不重于定量，尤其是缺少算書中的大量計算方法，更沒有展示這些理論化知識與算書中的計算方法的聯系。（二）《墨經》對形式化表達方式的運用還不太精致，“經上”篇中有的條目讀者很難區分是對概念的描述還是給出一個命題，如上引第20條固然可以理解為太陽在中天（“日中”）的時候處在正南方向，而理解為所謂“日中”是指太陽在正南方向亦非完全不合理。“經下”篇中“說在”所領句子的內容有時也與前面的關鍵命題并無緊密聯系。如上引第10條關鍵的命題是“一法者之相與也盡類”，“若方之相以也，說在方”是說明關鍵命題的例子，它整個地處于從屬地位，其中的“說在方”只是作為例證的一部分用來說明“方之相以也”的，而不是直接用來說明關鍵命題的。（三）《墨子》對一些概念和命題的描述有很多不夠完善和明確的地方，抽象程度也不很高，還帶有經驗的痕跡，甚至有的還非常明顯。如第9條對“方”的界定建立在用實物舉例的基礎之上；第2條“厚”的界定中“有所大”的主體（到底是長度、面積、體積還是厚度）不明確，所以后來惠施提出“無厚不可積也，其大千里”的命題來立異；其他如第4條中“參”、第5條的“同高”、第6條的“缶相盡”、第7、8條的“同長”、第11條的“秪”、第12條的“中”、第15條的“相得”、第17條的“無間而不相攖”等的主語都沒有出現，這種情況雖然有時候可以根據語境來判斷，但往往有相當的隨意性。如第7條的“中”是指何種圖形的中，《墨經》完全沒有交代，“自是往相若也”中的“往”是往何處也不說明，這就留給讀者很大的想像空間。如果往的地方是所有的邊界點，那么這個圖形只能是圓周、球面或其一部分；而如果往的地方只是某些特殊的地方，例如直線形的頂點，則這個圖形可以是多種多樣的，如任意的三角形、任意的等腰梯形、正多邊形、長方形、長方體的、正多面體等，大凡圓內接多邊形、球內接多面體都符合條件。又如第21條“丸”的“正”、“無所處”、“中懸”按怎樣的標準來認定，都不明確，沒有揭露球的諸如過球心的任意平面截得一個大圓、球心到放置點的半徑為鉛垂線這樣比較容易看到的幾何性質。類似的情況也見于其他一些條目。這種描述上的問題，與古人使用語言的習慣有關系，在有的時候純屬語言表達問題，作者心中是清楚的；在有的時候作者的心里則并不是那么清楚。而滿足于不清晰、不明確的表述，既會使作者錯過深化問題的機會，也不利于后人的繼承與發展。（四）盡管上文已說明《墨子》中幾何知識里的不同概念和思想具有關聯性，很多情況下也把相關的內容羅列在一起，但也存在分散的情形，特別是墨家沒有把這種聯系進行系統的、清楚的揭示；而且有些本來較易進行系統化的地方《墨子》也沒有去做，甚至還出現了一些不協調和疏漏之處。如：（1）在原文中，關于“平”的第5條、關于“同長”的第6條、關于“中”的第7條、關于“厚”的第2條、關于“日中”的第20條、關于“直”的第4條、關于“圜”的第8條和關于“方”的第9條等8條是連續編排的。這幾條的幾何意義比較明顯，放到一起是合適的。其中第7條緊接在第6條之后，第8條在第7條之后，因為后者用到前者，所以這種次序是大體不錯的。但第8條與第7條中間隔了與它們的關系并不緊密的第3條，則顯得不甚合理。第5條中的“同高”顯然以第6條的“同長”為基礎，但次序卻正好相反。而這八條與關于“端”的第3條、關于“有間”的第12條、關于“間”的第13條等幾何意義較明顯的三條又被“倍，為二也”條分割開來。這些頗為明顯的不合理次序，是容易調整的。類似的情形在《墨經》中并不少見。（2）在第10條解釋方的共性時沒有用第9條對“方”的具體界定來說明“一法者之相與也盡類”；對“間”和“有間”雖各有一條加以說明，但第17條對“次”的界定中的“無間”卻與之關系并不密切。（3）“端”在第3條中指形體的邊緣，但在《墨經》“非半弗著斤則不動，說在端”一條講分割一個長條形物體時，隨著分割方式的不同，最后得到的端位置也不同，不僅可以在兩頭，還可以在形體的中間（“前后取則端中也”）（[5]，307—315頁）。這固然與其世界觀中把端作為事物的基本構成單元的觀念相一致，但從形式和表述上說，其間存在不協調性是顯然的。（五）點的概念在《幾何原本》中為線、面、體等各種圖形定位，發揮了非常基本而有效的作用。單就沒有大小這項意義來說，《墨經》中的“端”也具有相同的意義，并被作為圖形和事物的部分，但其定位功能沒有被充分的認識，以至在第4條（“直”）、第5條（“平”）、第6條（“同長”）、第7條（“中”）、第8條（“圜”）、第11條（“儇”）、第17條（“次”）、第20條（“日中”）等實際用到“端”這一觀念的地方，都沒有用到這個概念來進行描述。對基本概念“尺”（線）、“區（穴）”（面）等的本質的揭示就更少了。《墨子》沒有刻意讓基本概念發揮作用，不僅使它們的性質和意義得不到充分的認識，也使《墨子》的幾何知識錯過了擁有一個基本生長點的機會[8]。（六）《墨子》雖有一些關于邏輯推理方式的描述，我們相信在其幾何學知識中會有意或無意地用到（[5]，368—372、389—391頁），但沒有證據表明他們刻意嚴格地（特別是按形式化的方式）用于他們的幾何學知識。因此，這些概念之間的關聯性還是比較松散的。總之，從總體上說，《墨子》中幾何知識的理論性還比較初步。它對幾何概念本質屬性的提煉還不夠精到、尚帶有明顯的經驗痕跡，它對基本概念的關鍵作用也認識得不夠深入。在對這些幾何知識的編排上，《墨子》主要是對條目進行有意識的羅列，而不重于對知識結構的編織；編作者雖然意識到推理的重要性，但沒有刻意用較嚴格的推理方式來明白地揭示不同幾何知識點之間的聯系而使之成為關聯性強的知識系統。

　　《墨子》（特別是《墨經》）與其他絕大多數文獻相比，在注重抽象概念、邏輯推理，關注科技等方面，顯得非常突出。但墨家的學說從秦漢以來除很少的時間內有非常少的學者關注外，長期不受重視，只是中國近代以來由于落后挨打導致國民的自信心與自尊心受到傷害，《墨子》才重新受到特別的關注。近現代很多學者經常用這一文獻來說明中國曾經在抽象理論和科技方面也曾有過非凡的建樹。在數學方面，古代西方世界以古希臘（特別是其幾何學）為代表，一脈相承地深刻地影響到當代的數學，因此，古希臘的幾何學就成為研究《墨子》中數學知識的參照。有的學者以為《墨子》中有一些可以用西方古典及近代數學解釋的內容，就過高地估計了《墨子》中數學（主要是幾何學）的水平，甚至有學者說“墨家在數學方面的成就遠不止于平面幾何，還涉及數學方面的許多領域，但因《墨經》原文訓詁為難，又因《墨經》本身頗多脫落，實難作正確全面的估價。但就現有能作訓詁的經文論，墨家在數學方面的成就超出當時的世界水平，或者說，是當時世界的先進水平”[16]，“一部《墨經》無論在自然科學哪一方面，都超過整個希臘，至少等于整個希臘”[17]。這是極不妥當的[9]。因為判斷兩個文明中某項科學的水平高低，是個科學問題，應持客觀求實的態度，不能帶有民族感情。尤其對于理論性的幾何學，不能因為兩個文明有部分近似概念和命題就說水平相當，或其中一個文明有的幾何概念在另一個文明中沒有、或具有更寬泛的意義就斷定前者比后者高明；而不應忽視以下一些重要方面：幾何概念的界定是否有合適的內涵與外延，對概念的抽象性和普遍性提煉到何種程度，幾何知識的各個部分之間以何種方式建立了多少在多大程度上清晰、準確的聯系，這些知識的廣度和深度如何[10]。從這種角度看，《墨子》中的幾何知識，雖然在抽象性和理論性方面超過同代的其他諸子，甚至在其后的中國古代傳統文獻中也鮮有堪與比肩者，其個別概念或命題比之古希臘幾何學亦有獨到之處[11]，但整體上仍屬于邁向理論幾何學的初級階段，距離整套的幾何學理論還相去甚遠。

　　在古希臘，數學家繼承了古埃及和古巴比倫的幾何學知識，并發揚光大，把從實際中發端的幾何學知識和觀念進行抽象化和普遍性的提煉，注重理論分析，使之成長為一個自成體系的理論化學科。古希臘從泰利士開始，經畢達哥拉斯及其學派、巧辯學派、埃利亞學派、柏拉圖、歐多克索斯、亞里士多德、歐幾里得等眾多名家和學派的努力，使幾何學發展成為形式嚴整、內容極為豐富的學科，特別是歐幾里得總結前賢的思想和成就，于公元前300年左右寫成《幾何原本》，通過抽象的概念、普遍性的公理、公設，利用演繹邏輯進行推導，一環套一環嚴格地建立了眾多數學定理和命題（大多數是幾何學方面的），形成了一個內容豐富的完整的理論系統，反映了此前古希臘幾何學的成就和理論深度，并為此后科學的發展樹立了公理化體系的典范[21，22]。書中雖或有不盡如人意之處，但其幾何學不論從內容的廣度、深度，概念的抽象化和清晰化程度，還是組織的系統性，論述的嚴格性，命題和定理的復雜性和豐富性，都遠遠超過《墨子》（含《墨經》）甚至現存所有中國傳統文獻中的幾何知識和思想。古希臘的幾何學在歐幾里得之后又由阿基米德、阿波羅尼奧斯等提升到一個新的高度，特別是阿基米德的觸角已經伸到近代的微積分[22，23]，這絕非《墨子》（含《墨經》）所能望其項背的。

　　總之，《墨子》中的幾何學知識，是作為其世界觀中與幾何學有關（或者說蘊涵有幾何學觀念）的基礎知識來呈現的，具有一定的抽象性，顯示出一定的內在聯系，體現了一定的理論水平。這對研究中國數學史和中國科學思想史有著重要的意義。另一方面，從世界數學史和數學發展的邏輯來看，由于《墨子》中的幾何學知識和思想，比一般經驗知識水平高，但又沒有達到成熟理論的程度，且這些知識的不同部分還存在差異，這些幾何知識和思想也為我們立體地考察數學在全世界的發展，特別是不同早期文明中數學發展的特點，以及人類關于空間形式的認識如何從經驗、常識、寬泛的哲學觀念向清晰的、抽象的、系統的理論方面發展提供了重要的研究樣本，其學術價值是不容低估的。

3? 從《墨子》看先秦時期的幾何學知識

　　前面說到《墨子》的幾何學無法和古希臘相比，但這并不意味著先秦時期的幾何只限于《墨子》的水平[12]。有文獻反映當時的幾何學還有更多更高的成就，雖然從抽象化和理論化的角度來說，也仍沒法與古希臘的幾何學相比。

　　《莊子·天下》篇說：“相里勤之弟子，五侯之徒，南方之墨者，苦獲已齒鄧陵子之屬，俱誦墨經而倍譎不同，相謂別墨，以堅白同異之辯相訾，以觭偶不仵之辭相應，以巨子為圣人，皆愿為之尸，冀得為其后世，至今不決”[24]。根據這一記載，墨家在分裂以后，各派都還誦讀《墨經》，《墨經》是墨家各派共同學習的基礎知識的匯編，帶有教程的性質。上面的討論也說明《墨子》的幾何學知識（主要是《墨經》中與幾何有關的概念和命題），只是墨家門徒所要學習的基本知識，它們既不代表墨家在幾何學方面的總體水平，因而更不能代表先秦數學在理論方面所達到的最高成就。相反《墨經》的教材性質，既說明它會在一定程度上取材于當時的幾何理論，也說明先秦學術界在幾何學理論方面有更高的成就和更豐富的知識。

　　《墨經》既然是人人“俱誦”的教程，非常簡略，所以《墨經》中的理論性、抽象性較強的概念和命題，只是當時存在的更多幾何知識中被篩選出的一部分基礎知識，還有更多的知識在書中沒有得到反映。再者，《墨經》中的幾何基礎知識為墨徒所學習之后，自然會有一些墨徒在這方面有所精進，提出很多新的、水平更高的成果。另外，在當時百家爭鳴的背景下，這些成果也會直接或間接影響到其他學派的學者，從而產生更多的幾何知識。只是由于文獻殘缺，我們現在還不知道這些成果達到了什么程度。可以肯定的是，名家的惠施、辯者（《莊子·天下》篇的說法[13]）受到影響，有所發展或反動。下面我們舉幾個例子：

　　（1）《墨經》中有圓和方的定義，并認為它們可以用規和矩作出。但辯者根據墨家已有的圓、方定義，得出不同的結果。由于圓、方都由點（“端”）構成，而這些點又是“無厚”（量度為零）的，那么用規、矩作出的圓、方，其點有大小、其線條有粗細，因此不可能完全符合于墨家的定義，因此辯者提出一個驚世駭俗的命題“矩不方，規不可以為圓。”[14]（[24]，479頁）

　　（2）《墨經》認為端是無厚的，是其自然觀中構成萬物的基本單元，同時墨家還說按不同的方式著斤一個長條物最后會在不同的位置得到端。辯者發現墨家的思想存著矛盾，提出“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”（[24]，479頁）的命題與墨家立異：一尺的棍子，每天取走一半，不論到哪一天，余下的都是長度（第n天后余下的長度為尺）大于無厚（沒有長度）的一節短棍，而不是無厚的端。墨家忽視分割步驟的無限性而強調無限分割的結果，辯者強調無限分割過程在具體操作上的不可完結性，從而使墨家對分割過程的無限性的跨越遇到了難以克服的困難。從墨家到名家關于無限觀念的思想衍變，古希臘也出現過類似的情形，并成為歐多克索斯創立規避無限過程的窮竭法的重要推動力（[20]，22—46頁）。可惜沒有史料可以反映辯者的這種思想對先秦數學上產生了什么影響。

　　（3）墨家定義厚時，只說“有所大”，而無厚則是“無所大”。那么“有所大”、“無所大”的主語是什么，是指長度、面積還是體積而言，墨家的定義中并沒有涉及。因此這個籠統的概念就容易被別人抓到把柄。惠施很可能正是看到這里存在的漏洞，提出“無厚不可積也，其大千里”，說明無厚（線或面）雖然不能積成有厚的（面或立體），但無厚本身卻能大到千里。在惠施看來，線就其面積（或寬度）來說、面就其體積（或厚度）來說，都沒有具體的數值（量度都為零），但線就其長度來說、面就其面積（或長度、寬度）來說都可以大到千里。另外，既然每一個對象都無厚，無厚和無厚相加到一起還是無厚，再繼續相加仍為無厚，所以說“無厚不可積也”（[24]，476頁）。

　　（4）抽象地看墨家“儇，秪”的命題，可以認為是圓環在直線上滾動時，處處與直線相切。這樣，環上的每一點都和直線上某一點重合。那么，當環轉動一周時，圓環上的所有點都與直線上的相應點重合，這意味著圓環的所有點都可以轉移到直線上，亦即圓可以轉化為一條直線段。按照這種觀點，連環的每一個環都可以轉化為一條直線段，那么連環就解開了。所以惠施說“連環可解也”（[24]，477頁）。這里的“可”意味著不是實際的操作而是指理論上的可能性，體現了惠施從更抽象的角度來考慮問題的方式。辯者“輪不蹍地”（[24]，478頁）的命題則從運動的角度與墨家立異：輪在地上滾動時，如果輪蹍地，那么它與地面總有一個接觸點既在輪上又在地面上。辯者認為，對于每一個接觸點，一方面，它在輪上，所以必然隨著輪子的運動而運動；另一方面，它在地上，所以必然又是不動的。這樣一來，只要假設輪蹍地，就會產生同一點就既動又不動的矛盾。因此辯者就由反證得出了“輪不蹍地”這樣一個驚世駭俗的結論。由于當時人們對于事物的動靜，不論是對時刻還是時間段，都總是以位置是否移動來衡量，而未發展到以速度是否為零來作為考察指標，因此，它們得出這樣違背常識的結論是自然的，別的學者不能駁斥而又不愿意接受辯者的高級錯誤也是自然的（[25]；[5]，402—404、421—429頁）。

　　（5）《公孫龍子·堅白論》中的客方說：“石之白，石之堅，見與不見，二與三，若廣修而相盈也。其非舉乎？”[26]這和墨家的思想是一致的。客方是公孫龍所反對的對象，于此還可看出《墨經》的命題或其流變亦為公孫龍所注意并作為他批判的對象了。不過，《公孫龍子》沒有對“廣修”相盈作出反應，也許是現存文獻脫落。當然也有可能是公孫龍認為廣脩相盈和“堅白”相盈是兩回事，不必在這篇主要論述堅白的文章里涉及。但廣脩相盈的思想在墨家之后也已為人們所注意則是無疑的。因此，這種思想應是當時人們所討論的對象。

　　名家文獻絕少保存至今，上面的例子只是現存文獻中一些結論性命題和我的詮釋（[5]，396—431頁）。我的解釋基于以下幾個基本方面的考慮：（1）以文獻中已有概念及其涵義為基礎和出發點，按最貼近文本的方式進行，減少跳躍性，避免先入之見和過度闡釋。（2）在墨、名二家關系上，《墨經》為墨家分裂后各派所俱誦，說明至少它的主體部分成于墨家分裂之前，在公元前4世紀中葉偏早（[27]；[5]， 223—261頁），與惠施的早年相接。（3）《莊子·天下》篇（[24]，461—481頁）中載惠施與辯者相訾應，同時也提及學習《墨經》的各派墨家互相爭論攻擊，卻沒有提到墨家批評惠施、辯者，說明這幾派墨家并沒有刻意去批評他們，更早的《墨經》編作者更不可能去批評他們。而在相關問題上，與惠施、辯者等有很強的立異心態不同，墨家的意見主要在立而不在破，即使偶有針對性，也只是墨家在內部進行“能談辯者談辯”（[6]，257頁）時所表示的意見，或者是針對更早的名家鄧析。（4）惠施及其后的辯者的命題，揭示了科學思想中的一些關鍵問題，如果墨家要批評的話，應該針對這些關鍵點。而事實上惠施、辯者的立異和批評的姿態要明顯得多，其意見基于更抽象的概念，以古代的知識難以駁倒。因此按從《墨經》編作者到惠施及其后辯者的順序來解釋是符合歷史發展的邏輯的。（5）《莊子·天下》記載，惠施“徧為萬物說”，提出10個論題（后人稱為“歷物十事”），并以此誘導一大群辯者，辯者也提出21個論題（后人稱為“辯者二十一事”），他們熱烈地辯論，樂此不疲，“終身無窮”。他們的討論，與眾不同，“弱于德，強于物”，“能勝人之口，不能服人之心”。《天下》的記載說明兩方面的問題。第一，名家關心世界萬物，并有擅長，只是對社會人倫的看法不見容于世，但他們的看法必有基于當時能夠用語言表達的概念和認識的論證（[5]，218—223、392—444頁）。這種論證雖或與當時人們的部分常識或感覺有不一致之處，“不能服人之心”，但反對者講道理講不過他們，無法反駁，因此名家的論證必定有很強的邏輯性。第二，當時參與討論的人很多，且熱情洋溢，可謂聲勢浩大。所以上面所述惠施及辯者的幾何知識和思想，決不是他們的幾何觀念的全部，而只是一部分，他們肯定會有更多的涉及幾何學的成果。由于上面的討論已經說明惠施及其后的名家在墨家基礎上就某些問題有所推進，更注意從抽象概念的角度來討論問題，所以當時必定會有一些理論性較強的幾何知識超出現存文獻之外，不僅墨、名二家會有，其他諸子也會有，特別是數學家、天文歷法家應該在理論性幾何方面會有一些新成果。

　　我國現存的上古數學著作以《九章算術》為代表，它匯集了從先秦到西漢實用算法式數學的主要成就。據研究，《九章算術》的絕大部分方法是先秦時期就已經存在的。其中有各種面積、體積公式，勾股定理及各種測量方法等幾何成果。不過，《九章算術》只記錄有方法而沒有記錄推導。由于很多方法非常復雜，很難想像單憑經驗或猜測能獲得正確的結論。這曾讓一些學者納悶。但是，如果我們聯系先秦時期《墨子》中所反映的幾何學知識，這就不難理解了。墨家不僅有很多幾何概念和命題，而且用到出入相補原理，并有進行出入相補的操作方式[14]。另外，《墨子》中有“次”的排列方式、廣和脩相盈的思想，因而肯定會有面積由一系列線組成的思想，也會有立體由一系列面積合成的思想（這種思想用西方的數學史術語可以叫做“不可分量可積”，是所謂卡瓦列利原理的基礎）。有了這兩種思想和方法，古人借助畫圖的方法和立體模型這樣直觀的方式，再利用《墨經》中已有反映的推理模式（不限于幾何而是在更大范圍內適用），就足以推導出《九章算術》中那些數學公式（[5]，385—391、498—508頁）。從約公元前186年墓中出土了一部《算數書》，它是一部取材于更早時代若干數學著作的撮編之作。書中有大量面積和體積計算的方法，這與其他簡牘材料（特別是睡虎地秦簡）、傳世文獻相結合，正好可以說明《九章算術》的主要方法出于先秦時期[12，13，28，29]。

　　先秦幾何學知識有兩類，一類是理論性的幾何學知識，另一類是實用算法式的幾何學知識[5]。對第一類，在上述《墨子》和關于名家的文獻中有直接的反映，《周髀算經》和《算數書》中也有些痕跡（[5]，372、489—493、498—508頁；[14]；[30]；[31]；[32]）[15]，上面的論述說明當時的這類知識還應該包括若干以這些文獻中已有的理論化知識為基礎或與之相關的理論化的知識，以及一些與幾何量計算方法有關的講究推導的幾何概念、命題和方法，當然還可能包括其他理論性較強的知識（盡管在有幸保存至今的少量文獻中難以得到反映）。而通過《墨子》與《算數書》、現存西漢后期編定而絕大部分方法已在先秦出現的《九章算術》及其他文獻對照，我們也能證明后一類幾何知識曾有高度的發展[12，13，28]。這兩類知識大體上能區分開來，但都以現實問題為基礎發展而來，它們又是互相影響、彼此促進的，特別是在理論推導與幾何量計算方法的結合部更是如此。3世紀時劉徽注《九章算術》、趙爽注《周髀算經》，都用到不少推導和理論知識（[2]，57—60、64—70頁；[33]），其中作為其方法和思想或其基礎的出入相補原理、不可分量可積思想、無限分割等正好和《墨子》與名家的幾何觀念相銜接，這說明在先秦時期創造幾何量計算方法的時候，確實存在相應的理論推導，只是未保存到后來（[5]，501—508；[34]）。但是，現在所知上古時代算法式幾何知識的概念和命題，在現存文獻中所反映的墨家和名家的理論化幾何知識中極少能見到明確的表述；而且上述理論化幾何知識中的概念和命題也很少在算法式數學著作中有明確的應用，所以先秦時期對幾何量的計算方法的推導雖然存在，但這種推導在表述上是不完備的，其形式性和嚴格性很可能在總體上是比較弱的；同時先秦時期抽象性較強的理論化幾何知識，雖比現存文獻所載要豐富和深入一些，但也不大可能在整體上有較大的提升，特別是在系統性上更是如此，因為形成抽象的系統性知識所需要的推動力(不論是來自數學家的自發還是社會需要和思想界的要求),在中國先秦時代確實沒法同古希臘相比。

　　先秦時期數學發展的多樣化，豐富了當時的思想和文化，是當時學術繁榮、思想和文化多元化的一個重要組成部分。現存材料所反映出的先秦時期的兩種幾何知識，雖然彼此間存在著聯系，但由于兩種知識的形態、概念差異比較大，因此這種聯系主要是若隱若現的，明確清晰的聯系不會很多。這種情形與當時不同諸子之間互相影響的方式也具有相似性。

　　春秋戰國時期的中國與古希臘的幾何學的進步，也反映了軸心時代不同文明的學術思想的一些共同特點。當時兩地都處于一個社會變革階段，學術爭鳴、思想解放，都促成了數學的大發展。人們都具有開闊的視野，極力理解周圍廣大的世界，因此在反映空間形式的幾何學方面都有大的發展，并注重揭示其中具有抽象性和普遍性的本質內涵，因而在幾何理論方面都較前代有大的進步。但是兩個文明的數學也有明顯的不同。古希臘的數學完成了從滿足實際需要到形成抽象理論的飛躍，主要在幾何概念與命題的抽象化和定理的證明上有重大進展，并形成非常嚴格的公理化體系，而在實用算法方面發展得不充分（盡管在幾何量計算方法方面也非常發達），這與古希臘在城邦制度下整個思想領域對理論和體系的追求遠勝于理論之用于實際的情形是一致的。先秦時期的中國數學則在實用算法方面有相當充分的發展，在從實際和具體的知識提升到抽象理論方面也有一定程度的進步，但不太充分。先秦時期的幾何學知識在抽象化、形式化的理論方面所達到的水平，雖然比現存關于墨家和名家的文獻等材料所呈現的程度要高一些，但我們看不到它曾經形成了嚴整體系的痕跡，當時應該離完成新領域的全面突破有比較大的距離，更不用說形成了公理化的系統。這與當時諸侯爭霸、社會急需解決生產、管理等問題有關，也與在此種社會背景下形成的思想文化在總體上關注政治、人倫、經濟、軍事等實際問題，有創造、有理論而不追求嚴整體系的整個狀況也是一致的。不過，比起后世來說，戰國時代中國幾何學的理論傾向還是比較發達的。但是，隨著大一統專制帝國的興起和鞏固，先秦時代豐富的多元文化和思想被整合成相對單一的格局，在先秦時期已經產生但尚未充分發展起來的理論化數學知識又很快衰微了，其中專注抽象概念及其聯系的部分幾乎一蹶不振，而其中與計算有關的部分也主要通過融入算法的發現和推導中而在不同的歷史時期或隱或顯、或強或弱地有所體現，但從未呈現出系統、完整、嚴格、清晰的數學理論。于是，實用算法式數學就占據了數學的絕大部分陣地，決定了中國傳統數學的基本走向。這與中國思想文化發展的基本態勢仍保持著一致性。

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注釋：

[1] “先秦”有廣義和狹義兩種用法，廣義指秦國統一中國以前，狹義指春秋戰國。本文取狹義。

[2] 其中比較值得重視的是錢寶琮、李約瑟（Joseph Needham）和葛瑞漢（Angus Charles Graham）的工作。早在20世紀30年代初，錢先生即討論了《墨經》中與幾何相關的條目，并注意到名家在某些方面的進步[1]。后來他又有所修正和改進[2]。李約瑟（Joseph Needham）從世界數學史的角度來探討，認為《墨經》中有關條目包含有理論幾何學的萌芽，但中國古代數學家從未發展出獨立于數量、純粹以公理、公設為基礎進行證明的理論幾何學[3]。葛瑞漢對《墨經》進行了全面的校訂、解釋和翻譯，并對其中有關幾何的條目做了集中的討論[4]。但他們的校釋還不太令人滿意，在總體上的討論遠未達到系統、全面的程度，也有一些不準確之處。

[3] 此處參考吳毓江意見（[8]，488—489頁）而有所調整。

[4] 這個解釋參考了吳毓江（[8]，487頁）和錢寶琮[11]的意見，但更注意貼近文本。

[5] “尺”在《墨經》中有幾個涵義：度量長度的工具——尺，一尺的長度，線。

[6] 葛瑞漢（Graham）較早注意到《墨經》中點、線和空間等幾何概念的抽象化和理想化的性質，并從《墨經》的整個知識系統中理解它們，但沒有全面系統的討論（[4]，301—316頁）。

[7] 一種流行的觀點認為“經上”是對概念進行定義，這是不確切的。事實上，不僅《墨經》的絕大部分條目達不到現代對概念下定義（合適地揭示內涵和外延）的要求，而且有的條目本身也很難說是要去界定一個概念。如本文所討論的“儇， 秪”條是提供一種判斷，“有間，中也”條是對“有間”的位置做出說明，盡管也能反映句首概念的一些涵義。

[8] 在中國古典數學中，用點（或其組合）定位和命名幾何形體的方式一直沒有受到重視（像《測圓海鏡》以漢字命名點并以其組合表示圖形的作法，是很罕見的例外），影響了中國古代幾何學特別是理論幾何學的發展。

[9] 已有學者對此表示過不同意這種意見，但它為不少論著[18，19]不加辨析地引用，仍有相當的影響。

[10] 有的概念很難給出簡潔而準確的定義，這時通過使用這種概念的場合所反映的它與其他概念的聯系來體現其內涵和外延。

[11] 如《墨經》以承認存在無窮為前提給出無窮和有窮的判定方式，《幾何原本》繼承歐多克索斯的窮竭法，避開無窮概念，建立了任意兩個有限量之間的關系，成為現代數學中所謂阿基米德公理的芻形（[5]，386-387頁；[15]；[20]）。

[12] 李約瑟已注意到墨家在《墨經》以外還有其他演繹性幾何的可能性，但認為如果有這些幾何也保持著一個學派的神秘而對中國數學的主流很少有甚至沒有影響（[3]，94頁）。實際上墨家雖然組織嚴明，但熱衷于宣傳其政治、倫理和社會主張，其幾何知識對其他學派（特別是名家）產生了影響，并且對中國古代數學家獲得幾何計算公式產生了積極的影響（[5]，392-434、498-508頁）。本文后面將論及這一問題。

[13] 《莊子·天下》篇對惠施和辯者是分列的，并沒有像有些論著所說的把惠施視為辯者之一員。

[14] “矩不方”承下省“可以為”三字，完整的意思是“矩不可以為方”。

[15] 詳細的討論見鄒大海：《先秦數學的兩種傾向》，2004年8月北京“《算數書》與先秦數學國際學術研討會”論文。

本文曾于2009年5月12日在北京舉行的“數學機械化國際研討會暨慶祝吳文俊院士90華誕學術會議”上宣讀。